二項分布ではp=0.5に近いとnが少なくてもかなり正規分布に近くなります。下の図のようにpが0.5より離れるとゆがんだ分布ですが、0.5に近いとかなり正規分布に近くなっていることがわかります。
二項分布は下のように正規分布に近似できます。
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二項分布を正規分布で近似する