第９回　カイ二乗分布とＦ分布

以上の計算は，生物統計学＿授業用データ集2010のファイルの第９回タブにある計算シートでも計算できます（データ１００個以内）．

例：Ａ，Ｂ２種類の飼料を与えて一定期間飼育したハムスターの体重の増加量を測定した結果，次のような結果を得た．飼料による体重増加量のばらつきに差があるのかを検定せよ．

１．カイ二乗分布
　母分散が既知の時に正規分布する母集団について，そこから抽出した標本の分散がどのような分布を示すかを表すのがカイ二乗分布です．カイ二乗分布は自由度だけで決定し，母分散の値σ^２は関与しません．

以上の計算は，生物統計学＿授業用データ集2010のファイルの第９回タブにある計算シートでも計算できます（データ１００個以内）．

Ｆ分布は正規分布する母集団から無作為抽出された２つの標本の分散の比に関する分布を示します．２つの標本それぞれの自由度からＦ分布が決まります．次回の授業から学ぶ分散分析ではＦ分布を利用するので，大切な分布です．なかなか意味をとらえにくい分布かもしれません．

以上の計算は，生物統計学＿授業用データ集2010のファイルの第９回タブにある計算シートでも計算できます．

カイ二乗分布を用いて，ある標本の分散がある値であるかということを検定できます．
例：Ｋ牧場の牛の乳脂肪率の標準偏差は0.07%であった．新しい飼育法の導入で乳脂肪率にばらつきが変化したかを知りたい．12頭を無作為に調査した結果は以下の通りである．
7.02,7.03,6.82,7.08,7.13,6.92,6.87,7.02,6.97,7.08,7.19,7.15

エクセルで計算する場合，
母分散σ^２は次の区間にp％の確率で入ります

p-値が0.50なので，帰無仮説は棄却できません．
したがって，５％の有意水準では飼料のばらつきに差があるとはいえないと結論できます．

２．カイ二乗分布を使った分散の区間推定
　カイ二乗分布を利用すると，標本から得られた分散を利用して，母分散を区間推定することができます．

２つ以上の遺伝子座の場合
例：花色赤色・草丈が高い×花色白色・草丈が低いを交配したF_１はすべて花色赤色・草丈が高いとなった．F_１同士を交配した結果，以下の表のような結果を得た．これは9:3:3:1の分離比に適合するかを検定せよ．

４．カイ二乗検定の応用
　カイ二乗検定はメンデル遺伝の分離比や，計数（比率）データの標本（群）の差の検定にも利用できます．イエス－ノー，生－死など二者択一的なデータであるため範疇データとも呼ばれます．この場合には次の値を算出し，カイ二乗表に照らして検定します．

１．帰無仮説と対立仮説の設定

例：Ｆ１のエンドウの交配から赤花80，白花30を得た．3：1に分離するかを検定せよ．
自由度が1なので，補正した式（２）を用います．

帰無仮説は「分離比は3：1である」．一方，対立仮説は「分離比は3：1でない」
期待値は3：1に分離した場合にどうなるかですから，赤花82.5，白花27.5になります．したがって，

以上のことから帰無仮説（分散は変化しなかった）は1％の有意水準で棄却されました．したがって，乳脂肪率の分散は変化したと結論できました．

２．p-値の計算

　帰無仮説が成り立つとしたら，今回の標本が得られる確率であるP値はエクセルでは以下の式で計算します．

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Ｆ分布を利用して２つの標本の分散比を区間推定することもできますが，授業では省略しました．
Ｆ分布を利用した２つの標本の分散に差があるのかを検定できます．この手法はこれから学ぶ分散分析の基礎となります．

６．F検定

帰無仮説：　分離比は9:3:3:1である．
対立仮説：　分離は9:3:3:1ではない．

例として，メンデル遺伝で分離の法則に従ったデータが得られたかを検定してみよう．

帰無仮説が成り立つと仮定したときに今回のデータが得られる確率P値はエクセルの関数から，以下のように計算できます．

したがって，有意水準5％で帰無仮説は棄却できず，分離比は3：1でないという有意な証拠はありません．つまり分離比は3：1であると考えてよいことになります．

１遺伝子座の場合

　自由度が1の場合（メンデル遺伝の分離比では１つの遺伝子座しか考えないとき）は，χ^２の値がやや高めに算出されるため以下のように補正します．